Question

已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），则下列各式恒成立的是    ．
①f（0）=0；
②f（3）=3f（1）；
③f（）=f（1）；
④f（-x）f（x）＜0．

Answer 1

【答案】分析：①，令x=y=0可判断f（0）=0的正误；
②令x=2，y=1，可判断f（3）=3f（1）的正误；
③令x=y=可判断f（）=f（1）的正误；
④令y=-x可求得f（-x）=-f（x），从而可判断f（-x）f（x）＜0的正误．
解答：解：令x=y=0得f（0）=2f（0），所以f（0）=0，所以①恒成立；
令x=2，y=1得f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1），所以②恒成立；
令x=y=得f（1）=2f（），所以f（）=f（1），所以③恒成立；
令y=-x得f（0）=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x），所以f（-x）f（x）=-[f（x）]²≤0，所以④不恒成立．
故答案为：①②③
点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法与方程思想的综合应用，属于中档题．