题目内容

已知向量 $数学公式$ ， $数学公式$ 其中ω＞0，记函数 $数学公式$ ，已知f（x）的最小正周期为π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）说出由y=sinx的图象经过如何的变换可得到f（x）的图象；
（3）当 $数学公式$ 时，试求f（x）的值域．

解：（1）f（x）= $\text{[math]}$ sinωxcosωx+cos²ωx= $\text{[math]}$ sin2ωx+ $\text{[math]}$ （1+cos2ωx）
=sin（2ωx+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$
∵ω＞0，∴T=π= $\text{[math]}$ ，∴ω=1．
f（x）=sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ，
（2）y=sinx的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位得 $\text{[math]}$ 的图象
再由 $\text{[math]}$ 图象上所有点的横坐标变为原来的 $\text{[math]}$ ，纵坐标不变，
得到y=sin（2x+ $\text{[math]}$ ）的图象，
最后再向上平移 $\text{[math]}$ 个单位就得到f（x）=sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ 的图象．
（3）由（1），得∵0＜x＜ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ＜2x+ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ．
∴f（x）∈（1， $\text{[math]}$ ]
∴求f（x）的值域为：（1， $\text{[math]}$ ]．
分析：（1）由函数f（x）= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 转化为sin（2ωx+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ，利用周期公式求得ω，即可得出f（x）的解析式；
（2）函数y=sinx的图象经过左右平移，得 $\text{[math]}$ 的图象，然后是横坐标变伸缩变换，纵坐标不变，可得到y=sin（2x+ $\text{[math]}$ ）的图象，最后再向上平移 $\text{[math]}$ 个单位就得到f（x）=sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ 的图象．
（3）由（1）得f（x）=sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ，由0＜x＜ $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ＜2x+ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，再利用整体思想求解求f（x）的值域．
点评：本题主要考查用向量运算将函数转化为一个角的一种三角函数，进一步研究三角函数的周期性和值域．