Question

求和：1+

1

1+2

+

1

1+2+3

+…+

1

1+2+3+…+n

=

 

．

Answer 1

分析：由an=

1

1+2+3+…+n

=

2

n(n+1)

，知S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=2（

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n×(n+1)

）
，再用裂项求和法能够得到这个数列的和．

解答：解：an=

1

1+2+3+…+n

=

2

n(n+1)

，
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n
=2（

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n×(n+1)

）
=2×(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

．
故答案：

2n

n+1

．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．