Question

20．若$α∈（0，\frac{π}{2}）$，方程x²sin²α+y²cos²α=1表示焦点在y轴上的椭圆的条件下长半轴长不小于2的概率是$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 先根据椭圆焦点在y轴上得出α的取值范围，再根据长半轴长不小于2得出α的取值范围，即可求出概率．．

解答 解：∵焦点在y轴上
∴sinα＞cosα，即sinα＞sin（$\frac{π}{2}$-α）
∵$α∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴α＞$\frac{π}{2}$-α，即$\frac{π}{2}$＞α＞$\frac{π}{4}$，
长半轴长不小于2，即$\frac{1}{cosα}$≥2，
∴cosα≤$\frac{1}{2}$，
∵$α∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴$\frac{π}{2}$＞α≥$\frac{π}{3}$，
∴所求概率为$\frac{\frac{π}{2}-\frac{π}{3}}{\frac{π}{2}-\frac{π}{4}}$=$\frac{2}{3}$
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查了椭圆的标准方程的问题，考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．