Question

已知a+a^-1=7，求下列各式的值：
（1）a

1

2

+a-

1

2

；
（2）a²-a^-2（a＞1）．

Answer 1

分析：（1）根据 a+a-1=(a

1

2

+a-

1

2

)2-2=7，且 a

1

2

+a-

1

2

＞0，从而求得a

1

2

+a-

1

2

的值．
（2）根据a+a-1=(a

1

2

-a-

1

2

)2+2=7，a＞1，求得a

1

2

-a-

1

2

=

5

．再由a-a-1=(a

1

2

+a-

1

2

)(a

1

2

-a-

1

2

)求得结果．

解答：解：（1）∵a+a-1=(a

1

2

+a-

1

2

)2-2a

1

2

•a-

1

2

=(a

1

2

+a-

1

2

)2-2=7，
∵a

1

2

+a-

1

2

＞0，∴a

1

2

+a-

1

2

=3．
（2）a+a-1=(a

1

2

-a-

1

2

)2+2a

1

2

•a-

1

2

=(a

1

2

-a-

1

2

)2+2=7
∵a＞1，∴a

1

2

-a-

1

2

=

5

，∴a-a-1=(a

1

2

+a-

1

2

)(a

1

2

-a-

1

2

)=3

5

，
∴a²-a^-2=（a-a^-1）（a+a^-1）=21

5

．

点评：本题主要考查有理指数幂的运算法则的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．