Question

已知正实数x，y满足lnx+lny=0，且k（x+2y）≤x²+4y²恒成立，则k的取值范围是________．

Answer 1

分析：由lnx+lny=0得，xy=1，分离出参数k后不等式变为k≤（x+2y）-，令m=x+2y，则问题转化为k，由基本不等式可求得m范围，根据y=m-的单调性可求得其最小值，从而得到k的取值范围．
解答：由lnx+lny=0得，xy=1，
k（x+2y）≤x²+4y²，即k≤=，
令m=x+2y，则k，
因为m=x+2y≥2=2，且y=m-在[，+∞）上递增，
所以m=时，==，
所以k，
故答案为：．
点评：本题考查函数单调性、基本不等式等知识，考查恒成立问题，考查函数思想，转化为函数最值问题是解决恒成立问题的常用方法．