Question

（08年崇文区统一练习一文）（14分）

如图，在直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=AA₁=2，M、N分别是A₁C₁、BC₁的中点.

   （I）求证：BC₁⊥平面A₁B₁C；

   （II）求证：MN∥平面A₁ABB₁；

   （III）求多面体M―BC₁B₁的体积.

 

 

Answer 1

解析：（I）∵直三棱柱ABC―A₁B₁C₁，∴B₁B⊥面A₁B₁C₁.………………1分

       ∴B₁B⊥A₁B₁.

       又∵A₁B₁⊥B₁C₁，∴A₁B₁⊥面BCC­₁B_­1.

       ∴A₁B₁⊥BC₁，

       连结B₁C，∵矩形BCC₁B₁中，BB₁=CB=2，

       ∴BC₁⊥B₁C，∴B₁C⊥平面A₁B₁C.………5分

（II）连结A₁B，由M、N分别为A₁C₁、BC₁的中点可得，

       MN∥A₁B又∵A₁B₁平面A₁ABB₁，MN平面A₁ABB₁，

       ∴MN∥平面A₁ABB₁.……………………10分

   （III）取C₁B₁中点H，连结MH、MB₁、MB，又∵M是A₁C₁中点，∴MH∥A₁B₁，又∵A₁B₁⊥平面BBC₁B₁，∴MH⊥平面BCC₁B₁，∴三棱锥M―BC₁B₁以MH为高，△BC₁B₁为底面，三棱锥M―BC₁B₁的体积……14分