Question

【题目】已知函数，其中为自然对数的底数.

（1）当时，证明：；

（2）讨论函数极值点的个数.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】试题分析：（1）依题意，，故原不等式可化为，记，对函数求导，得出的单调性，即可证明不等式成立；（2）对函数求导，记，对函数记再求导，然后对进行分类讨论，判断出函数的单调性，从而得出函数的极值点的个数.

试题解析：

（1）依题意，，故原不等式可化为，因为，只要证.

记，则.

当时，，单调递减；当时，，单调递增.

∴，即，原不等式成立.

（2）.

记

（ⅰ）当时，，在上单调递增，，.

∴存在唯一，且当时，；当.

①若，即时，对任意，此时在上单调递增，无极值点；

②若，即时，此时当或时，.即在上单调递增；当时，，即在上单调递减；此时有一个极大值点和一个极小值点；

③若，即时，此时当或时，.即在上单调递增；当时，，即在上单调递减：此时有一个极大值点和一个极小值点.

（ⅱ）当时，，所以，显然在单调递减；在上单调递增；此时有一个极小值点，无极大值点.

（ⅲ）当时，由（1）可知，对任意，从而，而对任意.

∴对任意.

此时令，得；令，得.

∴在单调递减；在上单调递增；此时有一个极小值点，无极大值点.

（ⅳ）当时，由（1）可知，对任意，当且仅当时取等号.

此时令，得；令得.

∴在单调递减；在上单调递增；此时有一个极小值点，无极大值点.

综上可得：①当或时，有两个极值点；

②当时，无极值点；

③当时，有一个极值点.