Question

如图在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC，
（1）求证：BC⊥平面PAC
（2）当D为PB中点时，求AD与平面PAC所成的角的余弦值；
（3）是否存在点E，使得二面角A-DE-P为直二面角，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）欲证BC⊥平面PAC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面PAC内两相交直线垂直，而PA⊥BC，BC⊥AC，满足定理所需条件；
（2）建立空间直角坐标系，求出各点坐标，由DE⊥平面PAC可知，∠DAE即是所求的二面角的平面角，利用向量的夹角的公式求出此角即可；
（3）设D点的y轴坐标为a，DE⊥AE，DE⊥PE，当A-DE-P为直二面角时，PE⊥AE，利用垂直，向量的数量积为零建立等式关系，解之即可．

解答：解：（1）

PA⊥底面ABC BC?平面ABC

?PA⊥BC

BC⊥AC AC∩PA=A AC，PA?平PAC

?BC⊥平面PAC
（2）建立空间直角坐标系如图，各点坐标分别为：
P（0，0，1），B（0，1，0），C(

3

4

，

3

4

，0)D(0，

1

2

，

1

2

)，E(

3

8

，

3

8

，

1

2

)
∴

AD

=(0，

1

2

，

1

2

)，

AE

=(

3

8

，

3

8

，

1

2

)，
由DE⊥平面PAC可知，∠DAE即是所求的二面角的平面角．∴cos＜

AD

，

AE

＞=

AD • AE

|AD| | AE |

=

14

4

，
故所求二面角的余弦值为

14

4

（3）设D点的y轴坐标为a，DE⊥AE，DE⊥PE，当A-DE-P为直二面角时，PE⊥AE

AE

=(

3

3

a，a，1-a)，

PE

=(

3

3

a，a，-a)，得

AE

•

PE

=

1

3

a2+a2-a+a2=0?a=

3

7

∴E(

3

7

，

3

7

，

4

7

)，所以符合题意的E存在．

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及二面角的度量，直二面角的运用，同时考查了空间想象能力和计算能力，属于中档题．