Question

如图在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=13，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，M为AC的中点．
（1）求证：PM⊥平面ABC；
（2）求直线BP与平面ABC所成的角的正切值．
（3）求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

分析：（1）作PO⊥平面ABC于点O，由PA=PB=PC，知O为△ABC的外心，由∠ABC=90°，知O为AC边的中点，即O与M点重合，由此能够证明PM⊥平面ABC；
（2）由（1）知PM⊥平面ABC，连结MB，则∠PBM就是直线BP与平面ABC所成的角，在直角三角形PBM中，利用边与角的关系即可求出答案．
（3）直接利用锥体的体积公式V=

1

3

•S_△ABC•PM即可得出答案．

解答：证明：（1）作PO⊥平面ABC于点O，
∵PA=PB=PC，
∴OA=OB=OC，即O为△ABC的外心
又∵△ABC中，∠ABC=90°，∴O为AC边的中点，
∴O与M点重合，
∴PM⊥平面ABC；
（2）连结MB，则∠PBM就是直线BP与平面ABC所成的角，
在直角三角形PBM中，PB=13，PM=12，BM=

1

2

AC=5
∴tan∠PBM=

12

5

；
（2）三棱锥P-ABC的体积V=

1

3

•S_△ABC•PM=

1

3

×

1

2

×8×6×12=96．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，考查直线与平面所成的角的求法，解题时要认真审题，仔细解答．