Question

【题目】如图，四棱锥，侧面是边长为的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形， 为的中点.

（1）求证： ；

（2）求点到平面 的距离.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）

【解析】试题分析：（1）由题可得为等边三角形,由为中点,可得,可证得平面,可得结论；（2）利用体积相等,可将点到面的距离转化为体积相等问题.

试题解析：（1）证法一：取中点，连结，

依题意可知均为正三角形，

所以，又，

所以平面，又平面 ，

所以

证法二：连结，依题意可知均为正三角形，

又为的中点，所以，

又，

所以平面 ，

又平面，所以

（2）点到平面的距离即点到平面的距离，

由（1）可知，又平面平面，

平面平面？平面，

所以平面，即为三棱锥的体高在中， ，

在中， ，边上的高，

所以的面积，设点到平面的距离为，

由得

，

又，

所以，解得，

所以点到平面的距离为