Question

（1）求直线y=x+1被双曲线截得的弦长；
（2）求过定点（0，1）的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）直线y=x+1代入双曲线方程，利用韦达定理，即可求弦长；
（2）方法一：设直线的方程代入双曲线方程，利用韦达定理，可得关于k的表达式，消参，即可得到弦中点轨迹方程；
方法二：设弦的两个端点坐标，代入双曲线方程，利用点差法，即可求得结论．
解答：解：（1）由得4x²-（x+1）²-4=0，即3x²-2x-5=0（*）
设方程（*）的解为x₁，x₂，则有得，
（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为y=kx+1，它被双曲线截得的弦为AB对应的中点为P（x，y），
由得（4-k²）x²-2kx-5=0（*）
设方程（*）的解为x₁，x₂，则△=4k²+20（4-k²）＞0，
∴，且，
∴，
即，消去k得4x²-y²+y=0（y＜-4或y＞0）．
方法二：设弦的两个端点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦中点为P（x，y），则
，两式相减得：4（x₁+x₂）（x₁-x₂）=（y₁+y₂）（y₁-y₂），
∴，即，即4x²-y²+y=0（y＜-4或y＞0）．
点评：本题考查直线与双曲线的位置关系，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．