题目内容

在直角坐标系中，定义：，即（n∈N*）为点Pn（xn，yn）到点Pn+1（xn+1，yn+1）的一个变换．我们把它称为点变换（或矩阵变换）．已知P1（1，0）．
（1）求直线y=x在矩阵变换下的直线方程；
（2）设dn=|OPn|2（n∈N*），求证：dn为等比数列，并写出dn的通项公式；
（3）设P2（x2，y2）…，Pn（xn+1，yn+1）（n∈N*）是经过点变换得到的一列点．求数列xn，yn的通项公式．
【答案】分析：（1）（0，0）是变换中的不动点，（1，1）变成（2，0），所以直线y=0；
（2）因为==，据此可写出dn的通项公式；
（3）由，xn=xn-1+yn-1=xn-2+yn-2+xn-2-yn-2=2xn-2（n≥3），所以x1=1，x2=1，xn=2xn-2（n≥3），同理得y1=0，y2=1，yn=2yn-2（n≥3），由此可求出数列xn，yn的通项公式．
解答：解：（1）（0，0）是变换中的不动点，（1，1）变成（2，0），
所以直线y=x变成x轴，即直线y=0；
（2）（1）因为==
所以dn是首项为1，公比为2的等比数列，dn=2n-1；
（3）由，xn=xn-1+yn-1=xn-2+yn-2+xn-2-yn-2=2xn-2（n≥3），
所以x1=1，x2=1，xn=2xn-2（n≥3），同理得y1=0，y2=1，yn=2yn-2（n≥3），
则，．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意数列通项公式的求法．
练习册系列答案
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在直角坐标系中，定义：(xn，yn)
11
1-1
=(xn+1，yn+1)，即
xn+1=xn+yn
yn+1=xn-yn
（n∈N*）为点Pn（xn，yn）到点Pn+1（xn+1，yn+1）的一个变换．我们把它称为点变换（或矩阵变换）．已知P1（1，0）．
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（2009•闵行区一模）在平面在直角坐标系中，定义
xn+1=yn-xn
yn+1=yn+xn
（n∈N*）为点Pn（xn，yn）到点Pn+1（xn+1，yn+1）的一个变换，我们把它称为点变换．已知P1（0，1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），Pn+1（xn+1，yn+1）（n∈N*）是经过点变换得到的一列点．设an=|PnPn+1|，数列{an}的前n项和为Sn，那么S20的值为（　　）

在直角坐标系中，定义两点之间的“直角距离”为，

现给出四个命题：

①已知，则为定值；

②用表示两点间的“直线距离”，那么；

③已知为直线上任一点，为坐标原点，则的最小值为；

④已知三点不共线，则必有.

A．②③     B．①④      C．①②      D．①②④

 
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（2）设dn=|OPn|2（n∈N*），求证：dn为等比数列，并写出dn的通项公式；
（3）设P2（x2，y2）…，Pn（xn+1，yn+1）（n∈N*）是经过点变换得到的一列点．求数列xn，yn的通项公式．

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