题目内容

如果双曲线与椭圆 $数学公式$ 有相同焦点，且经过点 $数学公式$ ，那么双曲线其方程是________．

$\text{[math]}$
分析：先根据双曲线与椭圆 $\text{[math]}$ 有相同焦点，确定双曲线的焦点坐标，再利用双曲线经过点 $\text{[math]}$ ，根据双曲线的定义，即可求得双曲线的标准方程．
解答：椭圆 $\text{[math]}$ 的焦点坐标为（0，±3）
∵双曲线与椭圆 $\text{[math]}$ 有相同焦点，
∴双曲线的焦点坐标为（0，±3）
∵双曲线经过点 $\text{[math]}$ ，
∴2a=| $\text{[math]}$ |=4
∴a=2
∴b²=9-4=5
∴双曲线的方程是 $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题考查椭圆、双曲线的几何性质，考查双曲线的定义，考查双曲线的标准方程，属于中档题．

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+y2=1于A、B两点，点M为弦AB的中点，直线OM的斜率为k₂（其中O为坐标原点，假设k₁、k₂都存在）．
（1）求k₁?k₂的值．
（2）把上述椭圆C一般化为

=1
（a＞b＞0），其它条件不变，试猜想k₁与k₂关系（不需要证明）．请你给出在双曲线

=1（a＞0，b＞0）中相类似的结论，并证明你的结论．
（3）分析（2）中的探究结果，并作出进一步概括，使上述结果都是你所概括命题的特例．
如果概括后的命题中的直线L过原点，P为概括后命题中曲线上一动点，借助直线L及动点P，请你提出一个有意义的数学问题，并予以解决．

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