Question

（理）设斜率为k₁的直线L交椭圆C：

x2

2

+y2=1于A、B两点，点M为弦AB的中点，直线OM的斜率为k₂（其中O为坐标原点，假设k₁、k₂都存在）．
（1）求k₁?k₂的值．
（2）把上述椭圆C一般化为

x2

a2

+

y2

b2

=1
（a＞b＞0），其它条件不变，试猜想k₁与k₂关系（不需要证明）．请你给出在双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）中相类似的结论，并证明你的结论．
（3）分析（2）中的探究结果，并作出进一步概括，使上述结果都是你所概括命题的特例．
如果概括后的命题中的直线L过原点，P为概括后命题中曲线上一动点，借助直线L及动点P，请你提出一个有意义的数学问题，并予以解决．

Answer 1

（解一）：（1）设直线方程为y=k₁x+b，代入椭圆方程并整理得：（1+2k₁²）x²+4k₁bx+2b²-2=0，（2分）
x1+x2=-

4k1b

1+2k2

，又中点M在直线上，所以

y1+y2

2

=k1•

x1+x2

2

)+b
从而可得弦中点M的坐标为(-

2bk1

1+2k12

，

2b

1+2k12

)，k2=-

1

2k1

，所以k1k2=-

1

2

．（4分）
（解二）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点M（x₀，y₀） 则x0=

x1+x2

2

，y0=

y1+y2

2

K2=

y0

x0

=

y1+y2

x1+x2

，k1=

y2-y1

x2-x1

   （2分）
又

1

2

x12+y12=1与

1

2

x22+y22=1作差得  -

1

2

=

(y2-y1)(y2+y1)

(x2-x1)(x2+x1)

所以 K1K2=-

1

2

            （4分）
（2）对于椭圆，K1K2=-

b2

a2

  （6分）
已知斜率为K₁的直线L交双曲线

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）于A，B两点，点M 为弦AB的中点，直线OM的斜率为k₂（其中O为坐标原点，假设K₁、k₂都存在）．
则k₁，k₂?的值为

b2

a2

． （8分）
（解一）设直线方程为y=k₁x+d，代入

x2

a2

+

y2

b2

=1（（a＞0，b＞0）方程并整理得：（b²-a²k₁²）x²-2k₁a²dx-（ad）²-（ab）²=0

1

2

(y1+y2)=

db2

b2-a2k12

，
所以K2=

y0

x0

=

y1+y2

x1+x2

=

b2

k1a2

，k1=

y2-y1

x2-x1

（2分），即k1k2=

b2

a2

     （10分）
（解二）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点中点M（x₀，y₀）
则x0=

x1+x2

2

，y0=

y1+y2

2

，K2=

y0

x0

=

y1+y2

x1+x2

，k1=

y2-y1

x2-x1

（2分）
又因为点A，B在双曲线上，则

x12

a2

-

y12

b2

=1与

x22

a2

-

y22

b2

=1作差得

a2

b2

=

(y2-y1)(y2+y1)

(x2-x1)(x2+x1)

=k₁k₂    即k1k2=

b2

a2

 （10分）
（3）对（2）的概括：设斜率为k₁的直线L交二次曲线C：mx²+ny²=1（mn≠0）于A，B两点，点M为弦AB的中点，直线OM的斜率为k₂（其中O为坐标原点，假设k₁，k₂、都存在），则k1k2=-

m

n

．（12分）
提出问题与解决问题满分分别为（3分），提出意义不大的问题不得分，解决问题的分值不得超过提出问题的分值．
提出的问题例如：直线L过原点，P为二次曲线线mx²+ny²=1（mn≠0）上一动点，设直线L交曲线于A，B两点，当P异于A，B两点时，如果直线PA，PB的斜率都存在，则它们斜率的积为与点P无关的定值．（15分）
解法1：设直线方程为y=kx，A，B两点坐标分别为（x₁，y₁）、（-x₁，-y₁），则y₁=kx₁
把y=kx代入mx²+ny²=1得（m+nk²）x²=1，
K_PA•K_PB=

(y0-y1)(y0+y1)

(x0-x1)(x0+x1)

=

y02-y12

x02-x12

，
所以K_PA•K_PB=

1-mx02 n - k2 m+nk2

x02- 1 m+nk2

=

m-m(m+nk2)x02

n(m+nk2)x02-n

=-

m

n

（18分）
提出的问题的例如：直线L：y=x，P为二次曲线mx²+ny²=1（mn≠0）上一动点，设直线L交曲线于A，B两点．试问使∠APB=30°的点P是否存在？（13分）
问题例如：1）直线L过原点，P为二次曲线线mx²+ny²=1（mn≠0）上一动点，设直线L交曲线于A，B两点，求PA+PB的值．
2）直线l过原点，P为二次曲线mx²+ny²=1（mn≠0）上一动点，设直线L交曲线于A，B两点，求S_△PAB的最值．