Question

已知tanα+cotα=

5

2

，α∈(

π

4

，

π

2

)，求cos2α和sin(2α+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式等基础知识，考查基本运算能力．切化弦，通分整理，逆用二倍角公式，分析角的范围，求出余弦值，再用两角和的正弦公式得到结果．

解答：解：∵tanα+cotα=

5

2

，
∴

sinα

cosα

+

cosα

sinα

=

5

2

，
则

2

sin2α

=

5

2

，sin2α=

4

5

，
∵α∈(

π

4

，

π

2

)，
∴2α∈(

π

2

，π)，
∴cos2α=-

1-sin22α

=

3

5

，
sin(2α+

π

4

)=sin2α．cos

π

4

+cos2α．sin

π

4

=

4

5

×

2

2

-

3

5

×

2

2

=

2

10

.

点评：理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力，运用两角和与差角三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函数名等．