Question

3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ccosA，bcosB，acosC成等差数列．
（Ⅰ）求∠B；
（Ⅱ）若a+c=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，b=$\sqrt{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由ccosA，BcosB，acosC成等差数列，可得2bcosB=ccosA+acosC，利用正弦定理、和差公式即可得出；
（II）利用余弦定理与三角形的面积计算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵ccosA，BcosB，acosC成等差数列，
∴2bcosB=ccosA+acosC，
由正弦定理知：a=2RsinA，c=2RsinC，b=2RsinB，
代入上式得：2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC，即2sinBcosB=sin（A+C）．
又A+C=π-B，∴2sinBcosB=sin（π-B），即2sinBcosB=sinB．
而sinB≠0，∴cosB=$\frac{1}{2}$，及0＜B＜π，得B=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）由余弦定理得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{（a+c）^{2}-2ac-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
又a+c=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，b=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{27}{4}$-2ac-3=ac，即ac=$\frac{5}{4}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×\frac{5}{4}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{16}$．

点评 本题考查了等差数列、正弦定理、和差公式、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．