Question

在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项和S_n满足S_n²=a_n．
（1）求S_n的表达式；
（2）设b_n=，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a_n=S_n-S_n-1（n≥2），化简已知等式得到-=2，从而数列{}构成公差为2的等差数列，结合等差数列的通项公式加以计算，即可得到S_n的表达式；
（2）由（1）的结论，得到，因此利用错位相减法并结合等比数列的求和公式，化简整理后可得．
解答：解 （1）∵S_n²=a_n，a_n=S_n-S_n-1（n≥2），
∴S_n²=（S_n-S_n-1），
即2S_n-1S_n=S_n-1-S_n，…①
由题意S_n-1•S_n≠0，
将①式两边同除以S_n-1•S_n，得-=2，
∴数列{}是首项为==1，公差为2的等差数列．
可得=1+2（n-1）=2n-1，得S_n=；
（2）由（1）得=2n-1，
∴
因此，
两边都乘以2，得
两式相减，得（2n-1）•2ⁿ⁺¹=2+8（2^n-1-1）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
∴T_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+6-2•2ⁿ⁺¹
化简得．
点评：本题给出数列的前n项和与第n项之间的关系式，求数列的前n项和表达式，并依此求另一个数列的前n项和．着重考查了等差等比数列的通项公式、求和公式，考查了利用错位相减法求等差、等比数列对应项的积构成数列的前n项和的知识，属于中档题．