Question

（15分）已知函数（不同时为零的常数），导函数为.
（1）当时，若存在使得成立，求的取值范围；
（2）求证：函数在内至少有一个零点；
（3）若函数为奇函数，且在处的切线垂直于直线，关于的方程在上有且只有一个实数根，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）函数在内至少有一个零点；（3）或．

第一问中，利用当时，若存在使得成立，即说明了
当时，==，其对称轴为直线，
当 ，解得，当，无解，
所以的的取值范围为、
第二问中，法二：，，．
由于不同时为零，所以，故结论成立．
第三问中，因为=为奇函数，所以, 所以，
又在处的切线垂直于直线，所以，即
结合函数单调性得到结论。
解：（1）当时，==，其对称轴为直线，
当 ，解得，当，无解，
所以的的取值范围为．………………………………………………4分
（2）因为，
法一：当时，适合题意………………………………………6分
当时，，令，则，
令，因为，
当时，，所以在内有零点．
当时，，所以在（内有零点．
因此，当时，在内至少有一个零点．
综上可知，函数在内至少有一个零点．……………………10分
法二：，，．
由于不同时为零，所以，故结论成立．
(3)因为=为奇函数，所以, 所以，
又在处的切线垂直于直线，所以，即．
因为　所以在上是増函数，在上是减函数，由解得，如图所示，
当时，，即，解得；
当时， ，解得；
当时，显然不成立；
当时，，即，解得；
当时，，故．
所以所求的取值范围是或．