Question

【题目】已知函数，.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）设函数的极大值为，极小值为，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）根据题意转化为的最小值小于等于9，二次函数根据轴与区间的关系进行分类讨论，得到答案.（2）利用导数求出的极小值和极大值，并且得到 的关系，以及与 的关系，表示出消去，然后令，将转化成关于的函数，注意的取值范围，从而求出的范围.

（1）因为，

所以函数的最小值小于等于9.

（i）函数的对称轴为，当，即时，

由，得，

因为，所以；

（ii）当，即时，

由，得.

综上，实数的取值范围为.

（2）因为，所以.

设，因为，

所以函数有两个不同的零点，不妨设为，，且，

则，.

当时，，函数为单调递减函数；

当时，，函数为单调递增函数；

当时，，函数为单调递减函数.

所以当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，

所以，

又，，所以.

将代入，得，

设，则 ，

所以.

设，，则，

所以函数在上为单调减函数，

从而，

又，当时，，所以，

即.

故的取值范围为.