Question

【题目】已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直.

（1）求函数的单调区间；

（2）求证：时，.

Answer 1

【答案】（1）的单调增区间为，无减区间（2）详见解析.

【解析】

（1）求出原函数的导函数，得到函数在x＝1时的导数，再求得f（1），然后利用直线方程的点斜式得答案；（2）构造新函数h（x）＝ex﹣x2﹣（e﹣2）x﹣1，证明ex﹣（e﹣2）x﹣1≥x2；令新函数φ（x）＝lnx﹣x，证明x（lnx+1）≤x2，从而证明结论成立．

（1）由，得.

因为曲线在点处的切线与直线垂直，

所以，所以，即，.

令，则.所以时，，单调递减；

时，，单调递增.所以，所以，单调递增.

即的单调增区间为，无减区间

（2）由（1）知，，所以在处的切线为，

即.

令，则，

且，，

时，，单调递减；

时，，单调递增.

因为，所以，因为，所以存在，使时，，单调递增；

时，，单调递减；时，，单调递增.

又，所以时，，即，

所以.

令，则.所以时，，单调递增；

时，，单调递减，所以，即，

因为，所以，所以时，，

即时，.