Question

【题目】如图，已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于，两点，点在准线上的投影为，点是抛物线上一点，且满足.

（1）若点坐标是，求线段中点的坐标；

（2）求面积的最小值及此时直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）最小值是16，此时直线的方程是或.

【解析】

（1）设，，,则，由题意得，直线：，与抛物线方程联立，则可得的值，再根据，均在抛物线上，代入并作差，可得的中点坐标与斜率的关系，再利用，求得线段中点的坐标.

（2）将直线的方程用表示出来，并与抛物线方程联立，再根据弦长公式求出，利用点到直线的距离公式，求出点到直线的距离为，运用，结合均值不等式可求得面积的最小值及此时直线的方程.

解：（1）设，，,则，由题意得，

直线：，又，得，则，

又，得，

得，又得，即

解得，即，

由，得，，

故，，线段中点的坐标为.

（2）由（1）可知，，

设直线方程为，即

由得，所以

点到直线的距离是

所以

而

等号成立当且，解得.

此时，或，.

因此面积的最小值是16，

此时直线的方程是或.