Question

【题目】函数在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为的图象与x轴的交点，且为等边三角形.将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍后，再向右平移个单位，得到函数的图象.

（1）求函数的解析式；

（2）若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由题意结合平面几何的知识可得，再由即可得，再利用三角函数图象变换的规律即可得解；

（2）由题意结合诱导公式、同角三角函数平方关系转化条件得在上恒成立，令，按照、、分类，结合二次函数的性质即可得解.

（1）由题意点的纵坐标为，为等边三角形，

所以三角形边长为2，所以，解得，

所以，

将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍后，得到，

再向右平移个单位，得到；

（2）由题意，

所以恒成立，

原不等式等价于在上恒成立.

令，即在上恒成立，

设，对称轴，

当时，成立；

当时，，解得，此时；

当时，，解得，此时；

综上，实数m的取值范围为.