Question

设两点在抛物线上，l 是AB的垂直平分线，

（Ⅰ）当且仅当取何值时，直线 l 经过抛物线的焦点F？证明你的结论；

（Ⅱ）当时，求直线 l 的方程.

Answer 1

解：（Ⅰ）F∈l|FA|=|FB|A、B两点到抛物线的准线的距离相等，

∵抛物线的准线是x轴的平行线，y₁≥0，y₂≥0依题意y₁，y₂不同时为0，

∴上述条件等份于y₁=y₂=(x₁+x₂)(x₁-x₂)=0;

∵x₁≠x₂，

∴上述条件等份于.

即当且仅当时，l经过抛物线的焦点F.

(Ⅱ)y₁=2=2，y₂=2=18.

∴过点A、B的直线的斜率为=-4

∵l与AB垂直，

∴l的斜率为.

又线段AB的中点坐标为（），即（-1，10）.

∴l的直线方程为y-10=(x+1).

即所求的方程为x-4y+41=0.