Question

设抛物线x²=4y的焦点为F，准线为l，点A在抛物线上，已知以F为圆心、FA为半径的圆交l于B、D两点．
（1）若∠BFD=90°，求△ABD的面积；
（2）若A、B、F三点在同一条直线m上，求直线m的方程．

Answer 1

分析：（1）如图所示．设准线l与y轴相交于点M．则|FM|=p=2．由∠BFD=90°，BF=DF，可得BM=DM=2，DF=2

2

=R=FA．于是点A到准线l的距离d=2

2

．利用△ABD的面积S=

1

2

|BD|×d．
（2）由题意A、B、F三点在同一条直线m上，由直径所对的圆周角为直角，可得∠ADB=90°．
利用抛物线的定义可得|AD|=|AF|=

1

2

|AB|，得到∠ABD=30°．即可得到直线m的斜率为±

3

3

．得到直线m的方程．

解答：解：（1）如图所示．
设准线l与y轴相交于点M．则|FM|=p=2．
∵∠BFD=90°，BF=DF，
∴BM=DM=2，DF=2

2

=R=FA．
∴点A到准线l的距离d=2

2

．
∴△ABD的面积S=

1

2

|BD|×d=

1

2

×4×2

2

=4

2

．
（2）由题意A、B、F三点在同一条直线m上，
∴∠ADB=90°．
|AD|=|AF|=

1

2

|AB|，
∴∠ABD=30°．
∴直线m的斜率为±

3

3

．
∴直线m的方程为y=±

3

3

x+1．

点评：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、圆的性质、含30°的直角三角形的性质、直线的方程等基础知识与基本技能方法，属于难题．