Question

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点在抛物线y=2x²上，l是AB的垂直平分线，
（Ⅰ）当且仅当x₁+x₂取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
（Ⅱ）当x₁=1，x₂=-3时，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由抛物线y=2x²，得出其焦点．下面分类讨论：（1）直线l的斜率不存在时，（2）直线l的斜率存在时，分别求解当x₁+x₂取何值时，直线l经过抛物线的焦点F即可；
（Ⅱ）设为l：y=kx+b，则由（Ⅰ）得关于k，b的方程组，解此方程组即可得直线l的方程．

解答：解：（Ⅰ）∵抛物线y=2x²，即x2=

y

2

，∴p=

1

4

，
∴焦点为F(0，

1

8

)（1分）
（1）直线l的斜率不存在时，显然有x₁+x₂=0（3分）
（2）直线l的斜率存在时，设为k，截距为b
即直线l：y=kx+b
由已知得：

y1+y2 2 =k• x1+x2 2 +b y1-y2 x1-x2 =- 1 k

（5分）?

2x 2 1 + 2x 2 2 2 =k• x1+x2 2 +b 2x 2 1 - 2x 2 2 x1-x2 =- 1 k

?

x 2 1 + x 2 2 =k• x1+x2 2 +b x1+x2=- 1 2k

（7分）?

x

2 1

+

x

2 2

=-

1

4

+b≥0?b≥

1

4

即l的斜率存在时，不可能经过焦点F(0，

1

8

)（8分）
所以当且仅当x₁+x₂=0时，直线l经过抛物线的焦点F（9分）
（Ⅱ）当x₁=1，x₂=-3时，
直线l的斜率显然存在，设为l：y=kx+b（10分）
则由（Ⅰ）得：

x 2 1 + x 2 2 =k• x1+x2 2 +b x1+x2=- 1 2k

?

k• x1+x2 2 +b=10 - 1 2k =-2

（11分）?

k= 1 4 b= 41 4

（13分）
所以直线l的方程为y=

1

4

x+

41

4

，即x-4y+41=0（14分）

点评：本小题主要考查直线的一般式方程、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、转化思想．属于中档题．