Question

【题目】已知向量 =（2sin ，2sin ）， =（cos ，﹣ sin ）． （Ⅰ）求函数f（x）= + 的最小正周期；
（Ⅱ）若β= ，g（β）=tan2α，α≠ + 且α≠ +kπ（k∈Z），数列{an}满足a1= ，an+12= ang（an）（n≤16且n∈N*），令bn= ，求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn ．

Answer 1

【答案】解：（I）f（x）= + =2sin cos +2 ×（﹣ sin ）+ = + = ． ∴f（x）的最小正周期为T= =4π．
（II） = =2cosα，∴β= = =tanα，
g（β）=tan2α= = ，α≠ + 且α≠ +kπ（k∈Z），
∵数列{an}满足a1= ，an+12= ang（an）（n≤16且n∈N*），
∴an+12= an× = ，取倒数可得： ﹣ =﹣1，即bn+1﹣bn=﹣1．b1=16．
∴数列{bn}的通项公式bn=16﹣（n﹣1）=17﹣n，（n≤16且n∈N*），
前n项和Sn= = ，（n≤16且n∈N*）
【解析】（I）利用数量积运算性质、倍角公式与和差公式可得：f（x）= + = ．即可得出f（x）的最小正周期为T=4π．（II） = =2cosα，可得β= =tanα，g（β）=tan2α= ，α≠ + 且α≠ +kπ（k∈Z），由数列{an}满足a1= ，an+12= ang（an）（n≤16且n∈N*），可得an+12= an× = ，取倒数可得： ﹣ =﹣1，即bn+1﹣bn=﹣1．b1=16．再利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．