Question

（14分）已知正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点E为棱AB的中点，求：

（Ⅰ）D₁E与平面BC₁D所成角的大小；

（Ⅱ）二面角D－BC₁－C的大小；

（Ⅲ）异面直线B₁D₁与BC₁之间的距离．

 

Answer 1

【答案】

（1）（即）；（2）；（3）。

【解析】

试题分析：解：建立坐标系如图，则、，，

，，，，，

，，．

（Ⅰ）不难证明为平面BC₁D的法向量，

∵

∴  D₁E与平面BC₁D所成的角的大小为  （即）．

（Ⅱ）、分别为平面BC₁D、BC₁C的法向量，

∵ ，∴  二面角D－BC₁－C的大小为．

（Ⅲ）∵ B₁D₁∥平面BC₁D，∴ B₁D₁与BC₁之间的距离为．

考点：本题主要考查空间向量的应用,综合考查向量的基础知识。

点评：以向量为工具，利用空间向量坐标及数量积，求点到平面的距离、求直线与平面所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段．