题目内容

已知f（x）=x+sinx，x∈[-1，1]，且 $数学公式$ ，则a的取值范围是________．

（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
分析：先利用条件判断出其奇偶性以及单调性，再对原题所给的不等式变形结合研究出的性质即可得到结论．
解答：因为：f（x）=x+sinx
所以；f（-x）=-x+sin（-x）=-（x+sinx）=-f（x）；
∴f（x）是奇函数
又因为：f′（x）=1+cosx，在x∈[-1，1]时f′（x）＞0；
∴f（x）在x∈[-1，1]上递增，．
∴ $\text{[math]}$ ?f（a+ $\text{[math]}$ ）＞-f（2a）=f（-2a），
∴ $\text{[math]}$ ?- $\text{[math]}$ ＜a＜ $\text{[math]}$ ．
故答案为：（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
点评：本题主要考察了函数奇偶性以及单调性的应用．解决本题的关键在于先研究出其性质，再把不等式等价转化．

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已知函数f（x）=ln（ax+b）的图象在x=1处的切线方程为y=

+ln2．
（1）证明：方程f（x）-x=0有且只有一个实根；
（2）若s，t∈（0，+∞），且s＜t时，试证明：（1+s）^ef（t-1）＞（1+t）^ef（s-1）．

，2）．f（x）=x²+

，数列{a_n}满足a₁=1，3a_n=f （a_n-1）+1
（n∈N，n≥2），数列{b_n}前n项和为S_n，且b_n=

．
（1）写出y=f （x）的表达式；
（2）判断数列{a_n}的增减性；
（3）是否存在n₁，n₂（n₁，n₂∈N*），使S n1≥1或S n2＜

，如果存在，求出n₁或n₂的值，如果不存在，请说明理由．

已知f（x）=x（x-a）（x-b），点A（s，f（s）），B（t，f（t））．
（Ⅰ）若a=b=1，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数f（x）的导函数f'（x）满足：当|x|≤1时，有|f'（x）|≤

恒成立，求函数f（x）的解析表达式；
（Ⅲ）若0＜a＜b，函数f（x）在x=s和x=t处取得极值，且a+b=2

不可能垂直．

已知f（x）=x²-alnx在（1，2]上是增函数，g(x)=x-a

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（1）求a的值；
（2）设函数φ(x)=2bx-

在（0，1]上是增函数，且对于（0，1]内的任意两个变量s，t，恒有f（s）≥φ（t）成立，求实数b的取值范围；
（3）设h(x)=f′(x)-g(x)-2

，求证：[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ（n∈N*）．

(理)已知函数f(x)=xlnx.

(1)求函数f(x)的单调区间和最小值;

(2)当b＞0时，求证:b^b≥(其中e=2.718 28…是自然对数的底数);

(3)若a＞0,b＞0，证明f(a)+(a+b)ln2≥f(a+b)-f(b).

(文)已知向量m=(x²,y-cx),n=(1,x+b)(x,y,b,c∈R)且m∥n,把其中x,y所满足的关系式记为y=f(x).若f′(x)为f(x)的导函数,F(x)=f(x)+af′(x)(a＞0),且F(x)是R上的奇函数.

(1)求和c的值.

(2)求函数f(x)的单调递减区间(用字母a表示).

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