Question

已知f（x）=x²-alnx在（1，2]上是增函数，g(x)=x-a

x

在（0，1）上是减函数．
（1）求a的值；
（2）设函数φ(x)=2bx-

1

x2

在（0，1]上是增函数，且对于（0，1]内的任意两个变量s，t，恒有f（s）≥φ（t）成立，求实数b的取值范围；
（3）设h(x)=f′(x)-g(x)-2

x

+

3

x

，求证：[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ（n∈N*）．

Answer 1

分析：（1）依题意，当x∈（1，2]时，f'（x）≥0恒成立，即a≤（2x²）_min可得a≤2，当x∈（0，1）时，g'（x）≤0恒成立，即a≥2，从而可求a
（2）由导数可得f（x）在（0，1]上是减函数，最小值是f（1）=1.φ(x)=2bx-

1

x2

在（0，1]上是增函数可得φ′(x)=2b+

2

x3

≥0恒成立，得b≥-1，且φ（x）的最大值是φ（1）=2b-1，则1≥2b-1可求b的范围
（3）由已知可得h（x）=x+

1

x

n=1时不等式左右相等，得证；n≥2时，利用二项展开式进行放缩可证

解答：解：（1）f′(x)=2x-

a

x

，依题意，当x∈（1，2]时，f'（x）≥0恒成立，即a≤（2x²）_min⇒a≤2.g′(x)=1-

a

2 x

，当x∈（0，1）时，g'（x）≤0恒成立，即a≥2，所以a=2．…（5分）
（2）f′(x)=2x-

2

x

=

2(x+1)(x-1)

x

，所以f（x）在（0，1]上是减函数，最小值是f（1）=1.φ(x)=2bx-

1

x2

在（0，1]上是增函数，即φ′(x)=2b+

2

x3

≥0恒成立，得b≥-1，且φ（x）的最大值是φ（1）=2b-1，
由已知得1≥2b-1⇒b≤1，所以b的取值范围是[-1，1]．…（5分）
（3）h(x)=f′(x)-g(x)-2

x

+

3

x

=…=x+

1

x

，
n=1时不等式左右相等，得证；
n≥2时，[h(x)]n-h(xn)=(x+

1

x

)n-(xn+

1

xn

)=

C

1 n

xn-2+

C

2 n

xn-4+…+

C

n-1 n

x2-n=

1

2

[

C

1 n

(xn-2+x2-n)+

C

2 n

(xn-4+x4-n)+…+

C

n-1 n

(x2-n+xn-2)]≥

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n-1 n

=2n-2，
所以[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ（n∈N*）成立．…（5分）

点评：本题主要考查了由函数的导数判断函数的单调性，函数的恒成立与函数的最值的相互转化，利用二项展开式的进行证明不等式，属于知识的综合考查