Question

设f（k）是满足不等式log₂x+log₂（3•2^k-1-x）≥2K-1，（k∈N）的自然数x的个数，
（1）求f（x）的解析式；
（2）记S_n=f（1）+f（2）+…+f（n），求S_n解析式；
（3）记P_n=n-1，设T_n=

log2(Sn-Pn)

log2(Sn+1-Pn+1)-10.5

，对任意n∈N均有T_n＜m成立，求出整数m的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用对数的运算性质及对数的单调性可把原不等式可转化为：

x＞0 3•2k-1-x＞0 x(3•2k-1-x)≥22k-1

，解不等式
可得x的范围，进而可求f（k）
（2）利用分组求和及等差数列、等比数列的求和公式可求
（3）由Tn=

log22n

log22n+1-10.5

=

n

n-9.5

=1+

9.5

n-9.5

，结合对应函数的单调性可求

解答：解：（1）原不等式可转化为：

x＞0 3•2k-1-x＞0 x(3•2k-1-x)≥22k-1

即

x＞0 x＜3•2k-1 x2-3•2k-1x+2k-1•2k≤0

∴2^k-1≤x≤2^k（4分）
∴f（k）=2^k-（2^k-1-1）=2^k-1+1．（6′）
（2）∵S_n=f（1）+f（2）+…+f（n）
=2⁰+2¹+…+2^n-1+n
=2ⁿ+n-1．（10′）
（3）∵Tn=

log22n

log22n+1-10.5

=

n

n-9.5

=1+

9.5

n-9.5

，（12′）
当1≤n≤9时，T_n单调递减，此时(Tn)max=T1=-

2

17

，（14′）
当n≥10时，T_n单调递减，此时（T_n）_max=T₁₀=20，
∴（T_n）_max=20，m_min=21．（16′）

点评：本题主要考查了对数的运算的运算性质的应用，对数不等式的解法，等差数列与等比数列的求和公式的应用及理由数列的单调性求解数列的最大（小）项，属于数列知识的综合应用