Question

设函数f（x）的定义域为M，若函数f（x）满足：（1）f（x）在M内单调递增，（2）方程f（x）=x在M内有两个不等的实根，则称f（x）为递增闭函数，现在f(x)=k+2

x+1

是递增闭函数，则实数k的取值范围是（　　）

A．（-2，+∞）

B．（-∞，1]

C．（-2，-1]

D．（-2，1）

Answer 1

分析：根据已知中递增闭函数的定义，结合f(x)=k+2

x+1

是递增闭函数，可得f（x）在定义域内单调递增，且方程f（x）=x在M内有两个不等的实根，即-(x+1)+2

x+1

+1+k=0在[-1，+∞）内有两个不等的实根，利用换元法，可得方程-t²+2t+1+k=0有两个不等的非负根，结合韦达定理及根的个数与△的关系，构造不等式组可求出参数范围．

解答：解：∵f(x)=k+2

x+1

不论k为何值均为增函数，故满足条件（1）
又∵f(x)=k+2

x+1

是递增闭函数
∴f（x）=x在[-1，+∞）内有两个不等的实根
即-(x+1)+2

x+1

+1+k=0在[-1，+∞）内有两个不等的实根
令t=

x+1

（t≥0）
则方程-t²+2t+1+k=0有两个不等的非负根
则

△=4+4(1+k)＞0 1+k≤0

解得-2＜k≤-1
故实数k的取值范围是（-2，-1]
故选C

点评：本题考查的知识点是函数的单调性判断与证明，根的存在性及根的个数判断，正确理解新定义是解答本题的关键．