Question

数列满足．

（1）计算，，，，并由此猜想通项公式；

（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．

 

Answer 1

（1） ，，，，由此猜想；（2）证明：当时，，结论成立．假设（，且）时，结论成立，即，

那么（，且）时，

，即.

所以，这表明时，结论成立．

综上所述，．

【解析】

试题分析：（1）由题意得，又，可求得，再由的值求，再由的值求出的值；（2）猜想，检验时等式成立，运用数学归纳法证明猜想的结论即假设 （，且）时，结论成立，证明当时命题成立.

试题解析：（1） ，，，，由此猜想．

（2）证明：当时，，结论成立．假设 （，且）时，结论成立，即，

那么 （，且）时，

，即.

所以，这表明当时，结论成立．

综上所述，．

考点：数学归纳法；数列递推式.