Question

已知F₁，F₂分别是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左右焦点，以坐标原点O为圆心，以双曲线的半焦距c为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为A，与y轴正半轴的交点为B，点A在y轴上的射影为H，
且

OH

=(0，

3

2

c)．
（1）求双曲线的离心率；
（2）若AF₁交双曲线于点M，且

F1M

=λ

MA

，求λ．

Answer 1

分析：（1）根据题意与

OH

=(0，

3

2

c)，可求A(

c

2

，

3

2

c)，A在双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1上，将点A的坐标代入，
整理后利用a²+b²=c²即可求得双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率；
（2）由

F1M

=λ

MA

，结合已知条件可求得M(

(λ-2)c

2(1+λ)

，

3 λc

2(1+λ)

)，将点A、M的坐标代入

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，得到方程组，从而转化为离心率与λ的函数关系，从而可求得λ．

解答：解：（1）由已知F₁（-c，0），点A在y轴上的射影为H，…（1分）
∵

OH

=(0，

3

2

c)
∴H(0，

3

2

c)，A(

c

2

，

3

2

c)∵A在双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1上
∴

c2

4a2

-

3c2

4b2

=1…（4分）．
b²c²-3a²c²=4a²b²，c⁴-8a²c²+4a⁴=0，e⁴-8e²+4=0
e2=4+2

3

，e=

3

+1…（6分）
（2）∵

F1M

=λ

MA

∴M(

(λ-2)c

2(1+λ)

，

3 λc

2(1+λ)

)…（8分）
由A，M都在双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1上，
得

c2 4a2 - 3c2 4b2 =1…(1) c2(λ-2)2 4a2(1+λ)2 - 3c2λ2 4b2(1+λ)2 =1…(2)

…（10分）
由（1）得 

c2

b2

=

e2-4

3

代入（2）

e2(λ-2)2

4(1+λ)2

-

(e2-4)λ2

4(1+λ)2

=1，
λ=

e2-1

e2+2

=

3 +1

4

…（12分）

点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合，着重考查学生解方程组与综合应用a²，b²，c²，及离心率e之间的关系，属于难题．