Question

已知F₁，F₂分别是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0， b＞0)的左、右焦点，过点F₂与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F₁F₂为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（　　）

• A．(1， 

  2

  )
• B．(

  2

  ， 

  3

  )
• C．(

  3

  ， 2)
• D．（2，+∞）

Answer 1

分析：根据斜率与平行的关系即可得出过焦点F₂的直线，与另一条渐近线联立即可得到交点M的坐标，再利用点M在以线段F₁F₂为直径的圆外和离心率的计算公式即可得出．

解答：解：如图所示，
过点F₂（c，0）且与渐近线y=

b

a

x平行的直线为y=

b

a

(x-c)，
与另一条渐近线y=-

b

a

x联立

y= b a (x-c) y=- b a x

解得

x= c 2 y=- bc 2a

，即点M(

c

2

，-

bc

2a

)．
∴|OM|=

( c 2 )2+(- bc 2a )2

=

c

2

1+( b a )2

．
∵点M在以线段F₁F₂为直径的圆外，∴|OM|＞c，
∴

c

2

1+( b a )2

＞c，解得

1+( b a )2

＞2．
∴双曲线离心率e=

c

a

=

1+( b a )2

＞2．
故双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）．
故选D．

点评：熟练掌握平行线与向量的关系、双曲线的渐近线、两点间的距离计算公式、离心率的计算公式、点与圆的位置关系是解题的关键．