Question

已知不等式x²-5mx-6m²≤0的解集为A，不等式ax²-x+12a-2＜0的解集为B，
（1）求A；    
（2）当m=1时，A∩B≠∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）将一元二次不等式因式分解，两根的大小引起对m的讨论，求出集合A．
（2）求出集合A，将A∩B≠∅，转化为不等式ax²-x+12a-2＜0有解；通过对二次项的符号的讨论，求出集合B，判断出集合A，B的端点的大小，求出a的范围．
解答：解：（1）原不等式变形为：（x+m）（x-6m）≤0，
当m＞0时，A=[-m，6m]；当m=0时，A={0}；当m＜0时，A=[6m，-m]；…（5分）
（2）当m=1时，A=[-1，6]；∵A∩B≠∅，
即x∈[-1，6]时，不等式ax²-x+12a-2＜0有解，…（7分）
即（x²+12）a＜x+2有解，也就是有解，则…（9分）
令t=x+2，∵x∈[-1，6]，∴t∈[1，8]，且x=t-2
∴===，
（当且仅当，即t=4时取等号），∴，则，
故实数a的取值范围是（-∞，）…（13分）
点评：解二次不等式时，若含参数，一般要讨论，讨论的起点往往是二次项系数的符号、判别式的符号、两个根的大小．