题目内容
已知椭圆的中心在原点，一个长轴的端点为P（0，-2），离心率为e=
，过点P作斜率为k1，k2的直线PA，PB，分别交椭圆于点A，B．
（1）求椭圆的方程；
（2）若k1•k2=2，证明直线AB过定点，并求出该定点．
| ||
| 2 |
（1）求椭圆的方程；
（2）若k1•k2=2，证明直线AB过定点，并求出该定点．
分析：（1）设椭圆的方程为
+
=1（a＞b＞0），根据题意建立关于a、b的方程组解出a、b之值，即可得到椭圆的方程；
（2）由题意得直线PA方程为y=k1x-2，与椭圆方程消去y得到关于x的方程，解出A点坐标含有k1的式子，同理得到B点坐标含有k2的式子，利用直线的两点式方程列式并结合k1k2=2化简整理，可证出AB方程当x=0时y=-6，由此可得直线AB必过定点Q（0，-6）．
| y2 |
| a2 |
| x2 |
| b2 |
（2）由题意得直线PA方程为y=k1x-2，与椭圆方程消去y得到关于x的方程，解出A点坐标含有k1的式子，同理得到B点坐标含有k2的式子，利用直线的两点式方程列式并结合k1k2=2化简整理，可证出AB方程当x=0时y=-6，由此可得直线AB必过定点Q（0，-6）．
解答：解：（1）∵椭圆的中心在原点，一个长轴的端点为P（0，-2），
∴设椭圆的方程为
+
=1（a＞b＞0），
可得a=2，且e=
=
=
，解之得b=1，
∴椭圆的方程为：
+x2=1；
（2）由题意，可得直线PA方程为y=k1x-2，与椭圆方程消去y，
得（1+
k12）x2-k1x=0，解之得x=0或x=
由P的坐标为（0，-2），得A（
，k1•
-2），即（
，
）
同理可行B的坐标为（
，
），
结合题意k1•k2=2，化简得B（
，
）
因此，直线AB的方程为
=
，
化简得y-
=
（x-
），
令x=0得y=
-
=
=-6，由此可得直线AB过定点定点Q（0，-6）．
∴设椭圆的方程为
| y2 |
| a2 |
| x2 |
| b2 |
可得a=2，且e=
| c |
| a |
| ||
| a |
| ||
| 2 |
∴椭圆的方程为：
| y2 |
| 4 |
（2）由题意，可得直线PA方程为y=k1x-2，与椭圆方程消去y，
得（1+
| 1 |
| 4 |
| 4k1 |
| 4+k12 |
由P的坐标为（0，-2），得A（
| 4k1 |
| 4+k12 |
| 4k1 |
| 4+k12 |
| 4k1 |
| 4+k12 |
| 2k12-8 |
| 4+k12 |
同理可行B的坐标为（
| 4k2 |
| 4+k22 |
| 2k22-8 |
| 4+k22 |
结合题意k1•k2=2，化简得B（
| 2k1 |
| 1+k12 |
| 2(1-k12) |
| 1+k12 |
因此，直线AB的方程为
y-
| ||||
|
x-
| ||||
|
化简得y-
| 2k12-8 |
| 4+k12 |
| 2(k12+2) |
| k1 |
| 4k1 |
| 4+k12 |
令x=0得y=
| 2k12-8 |
| 4+k12 |
| 8k12+16 |
| 4+k12 |
| -6k12-24 |
| 4+k12 |
点评：本题给出椭圆满足的条件，求它的方程并证明直线经过定点．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线的基本量与基本形式等知识，属于中档题．
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