Question

已知f（x）=ae^2x+（a+1）x+1，a＜-1对任意x₁，x₂∈R，有f（x₁）-f（x₂）≥4（e x1-e x2），求a的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：对?x₁，x₂∈R，有|f（x₁）-f（x₂）|≥4|e^x₁-e^x₂|，两边同除以|x₁-x₂|，等价于|f′（x）|≥4e^x，由此可求a的取值范围．

解答： 解：∵对?x₁，x₂∈R，有|f（x₁）-f（x₂）|≥4|e^x₁-e^x₂|，
∴两边同除以|x₁-x₂|，可得|f′（x）|≥4e^x，
∴|2ae^2x+（a+1）|≥4e^x，
∵a＜-1
∴2ae^2x+4e^x+（a+1）≤0
令e^x=t（t＞0），则2at²+4t+（a+1）≤0
∵a＜-1，∴0＜-

1

a

＜1，a+1＜0
∴△=16-8a（a+1）≤0
∴（a+2）（a-1）≥0
∴a≥1或a≤-2．
∵a＜-1，
∴a≤-2．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查导数概念，考查恒成立问题，属于中档题．