Question

已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).

(1)求证:⊥;

(2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标,并求矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值.

Answer 1

(1)证明:∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),

∴=(1,1),=(-3,3).

又∵·=1×(-3)+1×3=0,

∴⊥.

(2)解:∵⊥,四边形ABCD为矩形,

∴=.

设C点坐标为(x,y),

则(1,1)=(x+1,y-4).

∴

∴C点坐标为(0,5).

由于=(-2,4),=(-4,2).

∴·=8+8=16,

||=,||=.

设与的夹角为θ,

则cosθ=＞0,

∴与夹角的余弦值为.

∴求得矩形两条对角线所成的角的余弦值为.

点评:要证明⊥,只需证·=0.在⊥的前提下,只要找点C使=,则C即为所求对角线所成的锐角,应求出向量与的夹角,则这个角或其补角(取锐角)为所求.