Question

【题目】已知一个12位的正整数可以被37整除，且只包含数码，求这个12为数的各位数字之和的所有可能值.

Answer 1

【答案】

【解析】

设满足

，且,

令，取，

则,其中，，且,

取，

则,且,

设，

则 ,

由，知 ,

易知.故对任意，

.

从而，与中之一模37同余.

由为12位数知都小于等于4.

令，

则，且,

故,

又，

故,令,

又,故，从而，.

（1）当时，，

下面构造数满足条件，

则 ，

取，满足条件，其中，为高斯函数.

（2）当时，，

若，则，

由下表知，

其中， 表示时的取值.

但，均大于4，矛盾，

若，

则，

由表1知，但，均大于4，矛盾.

故

由对称性，，

（3）类似（2）知，，

（4）当时，，若，

则，

由表1知，

则，

对，取，

则满足条件，.

由对称性，时，取满足条件，.

（5）当时，类似（4）知，

对，取，

则满足条件，.

由对称性，时，取满足条件，,

综上，.