题目内容

已知ABC-A₁B₁C₁为正三棱柱，D是AC的中点（如图所示）．
（Ⅰ）证明；AB₁∥平面DBC₁；
（Ⅱ）若AB₁⊥BC₁，BC=2．求二面角D-BC₁-C的大小．

（Ⅰ）证明：连接CB₁交BC₁于O，连接OD
∵ABC-A₁B₁C₁为正三棱柱
∴O是BC₁的中点，
∵D是AC的中点
∴OD∥AB₁，
∵OD?面DBC₁，AB₁?面DBC₁，
∴AB₁∥平面DBC₁．
（Ⅱ）解：∵AB₁⊥BC₁，OD∥AB₁，
∴OD⊥BC₁，又O为BC₁中点，∴DB=DC₁= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
过O作OH⊥BC₁于H，连接DH，则OH= $\text{[math]}$ ，∠HOD为所求二面角D-BC₁-C的平面角
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
在△DOH中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
cos∠HOD= $\text{[math]}$
∴∠HOD=45°
即二面角D-BC₁-C的平面角为45°．
分析：（Ⅰ）证明线面平行的关键是证明AB₁平行于平面DBC₁内的一条直线，利用中位线的性质，可证；
（Ⅱ）根据AB₁⊥BC₁，OD∥AB₁，可得OD⊥BC₁，过O作OH⊥BC₁于H，则OH= $\text{[math]}$ ，∠HOD为所求二面角D-BC₁-C的平面角，再分别求出OD，DH的长，利用余弦定理可求．
点评：本题以正三棱柱为载体，考查线面平行，考查面面角，正确运用线面平行的判定，作出面面角是解题的关键．