题目内容

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，AB=2，点D₁是棱B₁C₁的中点．
（I）求证：A₁D₁⊥平面BB₁C₁C；
（II）已知线段A₁B₁上的一点P，满足直线AP与平面A₁D₁C所成角的正弦值为 $数学公式$ 的值．

解：（Ⅰ）∵A₁B₁=A₁C₁，点D₁是棱B₁C₁的中点．

∴A₁D₁⊥B₁C₁，
又∵BB₁⊥平面A₁B₁C₁，∴BB₁⊥B₁C₁，
又∵BB₁∩B₁C₁，
∴A₁D₁⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，∵AB=AC=AA₁=2，
∴A（0，0，0），A₁（0，0，2），C（0，-2，0），C₁（0，-2，2），B₁（-2，0，2），D₁（-1，-1，2）．
$\text{[math]}$ =（0，2，2）， $\text{[math]}$ =（-1，1，2），
设平面A₁D₁C的法向量 $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ ，
令y=-1，则z=1，x=1，∴ $\text{[math]}$ ．
设 $\text{[math]}$ ，0≤λ≤1，
∵ $\text{[math]}$ =（-2，0，0），∴ $\text{[math]}$ =（-2λ，0，0），P（-2λ，0，2）， $\text{[math]}$ =（-2λ，0，2）．
∵直线AP与平面A₁D₁C所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
化为3λ²-10λ+3=0，解得 $\text{[math]}$ 或3．
∵0≤λ≤1，
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理即可证明；
（Ⅱ）通过空间直角坐标系，分别求出平面CA₁D₁的法向量及斜线AP的向量坐标，进而求出其夹角，即可解决问题．
点评：熟练掌握线面垂直的判定定理和通过建立空间直角坐标系求出法向量与斜向量的夹角是解决问题的关键．