Question

5．对于函数f（x）=$\frac{a}{2}$-$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$（a∈R）．
（1）探讨函数f（x）的单调性；
（2）是否存在实数a，使函数f（x）为奇函数．

Answer 1

分析 （1）利用函数的单调性的定义，即可得出结论；
（2）利用f（x）是奇函数，则f（x）+f（-x）=0，即可求出a．

解答 解：（1）设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{a}{2}$-$\frac{{2}^{{x}_{1}}}{{2}^{{x}_{1}+1}}$-$\frac{a}{2}$+$\frac{{2}^{{x}_{2}}}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$．
∵x₁＜x₂，∴${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，即${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$＞0．
又${2}^{{x}_{1}}$+1＞0，${2}^{{x}_{2}}$+1＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
∴函数f（x）在定义域上是减函数．--------------------（6分）
（2）假设f（x）是奇函数，则f（x）+f（-x）=0．
即$\frac{a}{2}$-$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$+$\frac{a}{2}$-$\frac{{2}^{-x}}{{2}^{-x}+1}$=a-1=0，∴a=1．
∴存在实数a=1，使f（x）是奇函数．--------------------（12分）

点评 本题考查函数的单调性、奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．