Question

2．曲线y=$\frac{1}{e^x}$（e为自然对数的底数）在点M（1，$\frac{1}{e}}$）处的切线l与x轴和y轴所围成的三角形的面积为（　　）

• A． $\frac{1}{e}$
• B． $\frac{2}{e}$
• C． e
• D． 2e

Answer 1

分析 根据导数的几何意义可求得在点M（1，e^-1）处的切线的斜率，再由点斜式即可得切线方程，分别求出切线与x轴、y轴的交点A、B，利用直角三角形的面积公式即可求得．

解答 解：f（x）=e^-x，∴f（1）=e^-1，f'（x）=-e^-x，f'（1）=-e^-1，
函数f（x）在点M（1，e^-1）处的切线方程为y-e^-1=-e^-1（x-1），即y=-e^-1x+2e^-1，
设切线与x轴、y轴的交点分别为A、B，
∴A（2，0），B（0，2e^-1），
∴三角形的面积为$\frac{1}{2}×2$×2e^-1=$\frac{2}{e}$，
故选：B．

点评 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查三角形面积的计算，属于中档题．