Question

正方体A₁C的棱长为a，E、F分别为AB、BC上的点，且.?

(1)设二面角B₁-EF-B为α,求tanα.?

(2)试问B₁B上是否存在一点G，使得D₁G⊥平面B₁EF？请证明你的结论.?

(3)求三棱锥D₁—B₁EF的体积.

Answer 1

解析：(1)如图，连结BD交EF于H，连结B₁H.?

由=3,知EF∥AC，AC⊥平面BB₁D₁D.?

∴EF⊥平面BB₁D₁D.?

∴BH⊥EF,B₁H⊥EF.?

∠B₁HB就是二面角B₁-EF-B的平面角.?

∠B₁HB=α,B₁B=a,BH=,BD=a.?

∴tanα=.?

(2)在平面BB₁D₁D内作D₁M⊥B₁H，M为垂足，D₁M的延长线交B₁B于G，则G即为所求.?

∵EF⊥平面BB₁D₁D，则平面BB₁D₁D⊥平面B₁EF，B₁H为平面BB₁D₁D与平面B₁EF的交线，DG在平面BB₁D₁D内，?

由DG⊥B₁H，?

∴DG⊥平面BEF.?

(3)在Rt△B₁BH中，B₁B=a,BH=BD=a,?

∴B₁H=,?

EF=AC=.?

∴S_△B1EF?=.?

由(2)知D₁M就是三棱锥D₁—D₁EF的高.?

∵B₁D₁∥BD,?

∴∠D₁B₁M=∠B₁HB=α.?

sinα=.?

在Rt△D₁MB₁中，B₁D₁=a,?

∴D₁M=a.?

∴V_D—B1EF?=

(也可利用B₁H•D₁M=D₁B₁•DD₁,不必计算B₁H和D₁M，减少计算量).