Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E，F分别为D₁C₁，B₁C₁上的点．且满足

C1E

=λ

C1D1

，

C1F

=λ

C1B1

(0＜λ＜1)，
（1）若在AB上有一点P，使A₁C⊥平面PEF，求

|AP|

|AB|

的值．
（2）求此正方体在平面PEF内射影的面积．

Answer 1

分析：（1）先证明A₁C⊥EF．建立空间直角坐标系，则可求得如下点的坐标：A₁，C，E，设点P的坐标为（1，m，0），则通过

A1C

•

PE

=0，求出m=1-λ，即可求出

|AP|

|AB|

的值．
（2）由（1）知说明A₁C⊥平面AB₁D₁且过△AB₁D₁的中心，A₁C⊥平面C₁BD且过△C₁BD的中心．正方体在平面EFP内的射影相当于正方体在平面C₁BD内的射影，求出BD，求出正六边形边长，求出射影面积．

解答：解：（1）∵

C1E

=λ

C1D1

，

C1F

=λ

C1B1

，∴EF∥B₁D₁，A₁C在平面A₁B₁C₁D₁上的射影为A₁C₁，
∵A₁C₁⊥B₁D₁，∴A₁C⊥B₁D₁，∴A₁C⊥EF．如图建立空间直角坐
标系，则可求得如下点的坐标：A₁（1，0，1），C（0，1，0），E（0，1-λ，1），
设点P的坐标为（1，m，0），则

A1C

=(-1，1，-1，)，

PE

=(-1，1-λ-m，1)，若A₁C⊥EP，则有

A1C

•

PE

=(-1，1，-1，)•(-1，1-λ-m，1)=1-λ-m=0，
∴m=1-λ，即

|AP|

|AB|

的值为1-λ．
（2）由（1）知A₁C⊥B₁D₁，同理A₁C⊥AB₁，即A₁C⊥平面AB₁D₁且过△AB₁D₁的中心，同理即A₁C⊥平面C₁BD且过△C₁BD的中心．于是正方体在平面EFP内的射影相当于正方体在平面C₁BD内的射影，而正三角形AB₁D₁中心P在平面C₁BD内的射影是正三角形C₁BD的中心Q，于是AB₁D₁在平面C₁BD内的射影如图所示，
于是正六边形BA′D

B

′ 1

C1

D

′ 1

即为正方体在平面C₁BD的射影，BD=

2

，
故正六边形边长为

2

3

=

6

3

，故射影面积为6×

3

4

×(

6

3

)2=

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直判定定理的应用，利用空间直角坐标系向量法说明垂直的应用，射影面积的求法，考查空间想象能力与计算能力．