题目内容
(19)现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为
、
、
;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中,价格下降的概率都是
,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为
,对乙项目每投资十万元, 
取0、1、2时, 一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量
、
分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润.(I) 求
、
的概率分布和数学期望
、
;
(II) 当
时,求
的取值范围.
本小题主要考查二项分布、分布列、数学期望等基础知识，考查学生运用概率知识解决实际问题的能力.
(Ⅰ)解法一：ξ1的概率分布为
ξ1 | 1.2 | 1.18 | 1.17 |
P |
|
|
|
Eξ1=1.2×=1.18.
由题设得ξ-B（2，p），即ξ的概率分布为
ξ | 0 | 1 | 2 |
P | （1-p）2 | 2p（1-p） | p2 |
故ξ2的概率分而为
ξ2 | 1.3 | 1.25 | 0.2 |
P | （1-p）2 | 2p（1-p） | p2 |
所以ξ2的数学期望为
Eξ2=1.3×(1-p)2+1.25×2p(1-p)+0.2×p2
=1.3×(1-2p+p2)+2.5×(p-p2)+0.2×p2
=-p2-0.1p+1.3.
解法二：ξ1的概率分布为
ξ1 | 1.2 | 1.18 | 1.17 |
P |
|
|
|
Eξ1=1.2× =1.18.
设Ai表示事件“第1次调整，价格下降”（i=1，2），则
P（ξ=0）=P（1）P（2）=（1-p）2，
P（ξ=1）=P（A1）P（2）+P（1）P（A2）
=2p（1-p）
P（ξ=2）=P（A1）P（A2）=p2.
故ξ2的概率分布为
ξ2 | 1．3 | 1．25 | 0．2 |
P | （1-p）2 | 2p（1-p） | p2 |
所以ξ2的数学期望为
Eξ2=1.3×(1-p)2+1.25×2p(1-p)+0.2×p2
=1.3×(1-2p+p2)+2.5×(p-p2)+0.2×P2
= -p2-0.1p+1.3.
(Ⅱ)解：由Eξ1＜Eξ2，得
-p2-0.1p+1.3＞1.18.
整理得
（p+0.4）(p-0.3)＜0,
解得
-0.4＜p＜0.3.
因为0＜p＜1,所以，当Eξ1＜Eξ2时，p的取值范围是
0＜p＜0.3.
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