Question

如图，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点在直线l：x=1上，离心率e=

1

2

．设P，Q为椭圆上不同的两点，且弦PQ的中点T在直线l上，点R（

1

4

，0）．
（1）求椭圆的方程；
（2）试证：对于所有满足条件的P，Q，恒有|RP|=|RQ|；
（3）试判断△PQR能否为等边三角形？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的性质、离心率计算公式e=

c

a

及a²=b²+c²即可得出；
（2）证明：设T（1，y₀），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．则

RT

=(

3

4

，y0)，

PQ

=(x2-x1，y2-y1)，只要证明

RT

•

PQ

=

3

4

(x2-x1)+y0(y2-y1)=0即可，利用“点差法”中点坐标公式即可证明；
（3）分类讨论，利用等边三角形的性质和两点间的距离关系及其根与系数的关系即可得到满足条件的直线斜率k存在即可．

解答：（1）解：由题意可得

c=1 e= c a = 1 2 a2=b2+c2

，解得

a=2 b2=3

，∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）证明：设T（1，y₀），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
则

RT

=(

3

4

，y0)，

PQ

=(x2-x1，y2-y1)，
∴

RT

•

PQ

=

3

4

(x2-x1)+y0(y2-y1)，
由点P，Q在椭圆上，∴

x 2 1

4

+

y 2 1

3

=1，

x 2 2

4

+

y 2 2

3

=1，
两式相减得

(x1+x2)(x1-x2)

4

+

(y1+y2)(y1-y2)

3

=0，
∵x₁+x₂=2，y₁+y₂=2y₀，
∴

3

4

(x1-x2)+y0(y1-y2)=0．
∴

RT

•

PQ

=0．
∴PQ⊥RT．
即RT是线段PQ的垂直平分线，故恒有|RT|=|RQ|．
（3）①当PQ的斜率不存在时，△PQR不是等边三角形；
②当PQ的斜率存在时，由（2）可知：k=0时不符合题意．
假设k≠0，△PQR为等边三角形，则|RT|=

3

2

|PQ|，
设PQ的中点T（1，y₀），此时，|RT|2=

3

4

|PQ|2．
∴(1-

1

4

)2+(y0-0)2=

3

4

[

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

]2，
∴

9

16

+(

y1+y2

2

)2=

3

4

(

1+k2

•

4-4• 4m2-12 4k2+3

)2，
代入化为

9

16

+

9

16k2

=3(1+k2)(1-

4k2+ 9 4k2 -6

4k2+3

)=3（1+k²）

9- 9 4k2

4k2+3

，
解得k2=

15

44

．
由△＞0，得64k²m²-4（4k²+3）（4m²-12）＞0，
把m=-k-

3

4k

代入上式得k2＞

1

4

，∴k2=

15

44

符合题意．
∴△PQR能为等边三角形．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为直线l的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系、垂直与数量积的关系、两点间的距离公式、斜率计算公式等基础知识与基本能力，考查了推理能力和计算能力．