Question

【题目】已知抛物线的焦点为,其准线与轴交于点,过作斜率为的直线与抛物线交于两点,弦的中点为的垂直平分线与轴交于．

(1)求的取值范围;

(2)求证: .

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】试题分析：(1)由题意求出抛物线的准线方程,求出的坐标,写出直线的点斜式方程,和抛物线方程联立,由判别式大于0可得答案;

(2)利用一元二次方程根与系数的关系求出中点的坐标,代入直线方程求出的纵坐标,写出的垂直平分线方程,求出与轴的交点的横坐标,由中求得的的范围得到x0的范围.

试题解析：(1)由y2＝-4x,可得准线x＝1,

从而M(1,0)．

设l的方程为y＝k(x-1),联立

得k2x2-2(k2-2)x＋k2＝0.

∵A,B存在,∴Δ＝4(k2-2)2-4k2>0,

∴-1<k<1.又k≠0,

∴k∈(-1,0)∪(0,1)．

(2)设P(x3,y3),A(x1,y1),B(x2,y2),

可得x3＝,y3＝k(-1)＝-＝-.

即直线PE的方程为y＋＝- (x-)．

令y＝0,x0＝--1.

∵k2∈(0,1),∴x0<-3.