Question

【题目】在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为为曲线上的动点，点在线段上，且满足．

（1）求点的轨迹的直角坐标方程；

（2）直线的参数方程是（为参数），其中． 与交于点，求直线的斜率．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 或．

【解析】试题分析：（1）先求出轨迹的极坐标方程，再转化为直角坐标方程即可；（2）先由直线的参数方程得到直线的直角坐标方程，利用弦长公式和圆心到直线的距离公式进行求解.

试题解析：（1）设点的极坐标，点的极坐标，

由题意可知，

由得曲线的极坐标方程为，

∴点的轨迹的直角坐标方程为；

（2）法一：由直线的参数方程可知，直线过原点且倾角为，

则直线极坐标方程为，联立

， ∴，

∴，

∴或， ∴或， ∴直线得斜率为或；

法二：由题意分析可知直线的斜率一定存在，且由直线的参数方程可得，直线过原点，设直线的普通方程为，

∴到的距离，可得，

∴直线得斜率为或．